KALKULUS 1

1. SISTEM BILANGAN REAL

Bilangan imaginer

           ↑

Bilangan komplek

           ↓                              

Bilangan real : - bilangan irasional

                      - bilangan rasional

contoh :

√4 = 2 = 2 dan -2

√-1 = 1 (imaginer)

√-4 = 2 ῐ

Bilangan real : bilangan yang nilainya dapat diketahui dan digunakan dalam perhitungan sehari-hari

* Menuliskan bilangan real dapat dilakukan dengan 3 cara:

1.menggunakan notasi himpunan

2.menggunakan garis himpunan

      3.infrimum dan suprimum

contoh :

B = {1,2,3,...}

Nyatakan himpunan B dalam notasi himpunan, garis himpunan, intrimum dan suprimum (min 2)

B = {X | X ≥ 1 , X є R} (1,2)

B = {X | > 0 , X є R} (0,2)

*Sifat-sifat uratan bilangan real

1. Trikotomi : jika X dan Y adalah bilangan-bilangan, maka salah satu diantaranya pasti berlaku,seperti: X < Y atau X = Y atau X > Y

2. Ketransitifan : X < Y dan Y < Z maka X < Z

3. Penambahan : X < Y dan X + Z < Y + Z

4. Perkalian : bilamana Z positif, X < Y maka XZ < YZ

 bilamana Z negatif X < Y maka XZ > YZ

*Sifat keajaiban bilangan real :

1. hukum komulatif : X + Y = Y + X dan XY = YX

2. hukum asosiatif : X + (Y + Z) = (X + Y) + Z dan X (YZ) = (XY) Z

3. hukum distributif : X (Y + Z) = XY + XZ

4. elemen identitas : ->identitas penjumlahan = 0,X + 0 = X

                                           ->identitas perkalian = 1,X . 1 = X

5. balikan (invers) : ->penjumlahan = invers dari X adalah –X

                                            bukti = X + (-X) = identitas (0)

                                       ->perkalian = invers dari X adalah X¯¹

                                            Bukti = X . X¯¹ = identitas (1)

Contoh soal :

1.       ¹⁄₃ [ ¹⁄₂ (¹⁄₄ - ¹⁄₃) + ¹⁄₆

= ¹⁄₃ [ ¹⁄₂ (³⁄₁₂ - ⁴⁄₁₂) + ¹⁄₆ ]

= ¹⁄₃ (-¹⁄₂₄ + ¹⁄₆)

= ¹⁄₃ (-¹⁄₂₄ + ⁴⁄₂₄)

= ¹⁄₃ . ³⁄₂₄

= ¹⁄₂₄

2.       ( √5 + √3 ) ( √5 - √3 )

= √25 - √15 + √15 - √9

= 5 – 3

= 2

1.       PERSAMAAN

* persamaan adalah suatu kalimat matematika yang memiliki variabel dengan tanda hubung “ = “ , sehingga memerlukan penyelesaian khusus  untuk mencari nilai variabel tersebut.

                  PERSAMAAN LINIER

1. Pengertian pers.linier : kalimat terbuka mengandung hubungan (relasi) sama dengan.

2. Persamaan linier satu variabel

Bentuk umum :

ax + b = 0                  Ket : a = koefisien variabel x

                                               x = variabel

                                               b = konstanta

a, b є R , a ≠ 0

contoh : 4x + 8 = 0

        pernyataan  menjadi benar jika nilai x adalah (-2)

3. Himpunan penyelesaian persamaan linier

     Contoh :

a.       2x + 4 = x + 7

2x – x = 7 – 4

         x = 3               Hp = {3}

b.      8x – 3 = 4 (x + 1) +5

8x – 3 = 4x + 4 + 5

8x – 3 = 4x + 9

8x–4x = 9 + 3

       4x = 12

         x = 3                Hp = {3}

1.       PERTIDAKSAMAAN

* Pertidaksamaan adalah sebuah kalimat matematika yang mempunyai variabel dengan menggunakan tanda penghubung “<, >, ≤, ≥, ≠”

     Contoh : 2x + 5 > 8

1.         PERTIDAKSAMAAN LINIER

    Contoh :   2x + 5 > 3

                    2x > 3 – 5               Hp = {-1 , ~}

                                                                                  

                           2x > -2
                           X > -²⁄₂  --> x > -1

2.        PERTIDAKSAMAAN NON LINIER

Contoh : x² - 5x + 6 > 0

                  x² - 5x + 6 =0

                 (x – 3) (x – 2)

                  x– 3 = 0    x – 2 = 0

                  x = 3          x = 2

3.        PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK

* Nilai mutlak dituliskan dengan (x) didefinisikan dengan |x| = x jika x ≥ 0 dan = -x jika x < 0

    Misal : |5| = 5, |-5| = 5, |0| = 0
* Sifat-sifat nilai mutlak: 1. |ab| = |a| |b|
                                                   2. |a/b| = |a|/|b|
                                                   3. |a + b| = |a| + |b|
                                                   4. |a – b| = |a| - |b|
Contoh soal:
|3x – 5| ≥ 1
3x – 5 ≤ -1    atau   3x – 5 ≥ 1

3x ≤ -1 + 5               3x ≥ 1 +5

3x ≤ 4                       3x ≥ 6

  x ≤ ⁴⁄₃                       x ≥ 2